Slavko je košarkom je počeo da se bavi kasno, u 18 .godini života kada ga je 1974. primetio niški trener Bane Milačić i odveo u Student. Košarku je aktivno igrao dvadeset i jednu takmičarsku sezonu. Posle četiri sezone u Studentu 1978. je bio na probi u Partizanu kod trenera Ranka Žeravice.
Međutim, između dva prvenstva Žeravicu je na mestu trenera zamenio Dušan Ivković, a Ranko Žeravica je otišao u Pulu. Bogosavljević je odlučio da sa njim ode u Pulu i tamo je odigrao jednu godinu za ekipu Puljanke.
Kada se završila sezona u Puli za njega su bili zainteresovani Olimpija, Kvarner iz Rijeke i Zadar, ali prema njegovim rečima najjači poziv je stigao iz vojske i morao je na odsluženje vojnog roka. Posle vojske je prešao u Borac iz Čačka gde je odigrao još jednu sezonu.
Iako je bio odličan u Čačku i iz Borca su želeli da ga zadrže, njegova odluka je bila da se vrati u Niš i završi Građevinski fakultet, jer u to vreme od košarke nije moglo da se živi. Do kraja karijere je imao još dva izleta van Niša, jednu sezonu u Kumanovu iz Severne Makedonije, a poslednju sezonu u karijeri je odigrao u Napretku iz Aleksinca.
